ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:
ผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมสองรูปบนด้านประชิดมุมฉาก (a และ b)
เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมบนด้านตรงข้ามมุมฉาก (c)
ในวิชาคณิตศาสตร์ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส แสดงความสัมพันธ์ในเรขาคณิตแบบยุคลิด ระหว่างด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านที่เหลือ
ในแง่ของพื้นที่ กล่าวไว้ดังนี้
|
ในสามเหลี่ยมมุมฉากใด
ๆ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่มีด้านเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก
เท่ากับผลรวมพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่มีด้านเป็นด้านประชิดมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากนั้น
|
|
ทฤษฎีบทดังกล่าวสามารถเขียนเป็นสมการสัมพันธ์กับความยาวของด้าน a, b และ c ได้
ซึ่งมักเรียกว่า สมการพีทาโกรัส ดังด้านล่าง
a2 + b2 = c2
โดยที่ c เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก
และ a และ b เป็นความยาวของอีกสองด้านที่เหลือ
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสตั้งตามชื่อนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก พีทาโกรัส ซึ่งถือว่าเป็นผู้ค้นพบทฤษฎีบทและการพิสูจน์ แม้จะมีการแย้งบ่อยครั้งว่า
ทฤษฎีบทดังกล่าวมีมาก่อนหน้าเขาแล้ว
มีหลักฐานว่านักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลนเข้าใจสมการดังกล่าว
แม้ว่าจะมีหลักฐานหลงเหลืออยู่น้อยมากว่าพวกเขาปรับให้มันพอดีกับกรอบคณิตศาสตร์
การพิสูจน์
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอาจเป็นทฤษฎีบทที่รู้จักกันว่ามีการพิสูจน์มากกว่าทฤษฎีบทอื่น
หนังสือ The
Pythagorean Proposition มีการพิสูจน์มากถึง 370
แบบ
ภาพเคลื่อนไหวแสดงการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
การพิสูจน์โดยการจัดเรียงรูปสามเหลี่ยมใหม่
การพิสูจน์โดยการจัดเรียงพื้นที่
บทกลับของทฤษฎีบทปีทาโกรัส
บทกลับของทฤษฎีบทปีทาโกรัสนั้นเป็นจริง
โดยกล่าวไว้ดังนี้
กำหนด a, b และ c เป็นจำนวนจริงบวกที่ a2 + b2 = c2 จะมีสามเหลื่ยมมุมฉากหนึ่งรูปที่มีความยาวด้านเท่ากับสามจำนวนนั้น
และสามเหลี่ยมนั้นจะมีมุมฉากระหว่างด้าน a และ b
สำหรับสามเหลี่ยมใด
ๆ ที่มีด้าน a, b และ c ถ้า a2 + b2 = c2 แล้วมุมระหว่าง a กับ b จะวัดได้
90°
ถ้าในสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง
สี่เหลี่ยมบนด้านหนึ่งเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมบนอีกสองด้านที่เหลือของสามเหลี่ยมแล้ว
แล้วมุมที่รองรับด้านทั้งสองที่เหลือของสามเหลี่ยมนั้นจะเป็นมุมฉาก
กำหนดสามเหลี่ยม ABC มีด้านสามด้านที่มีความยาว
a,b และ
c และ a2 + b2 = c2 เราจะต้องพิสูจน์ว่ามุมระหว่าง
a และ
b เป็นมุมฉาก ดังนั้น
เราจะสร้างสามเหลื่ยมมุมฉากที่มีความยาวของด้านประกอบมุมฉาก เป็น
a และ
b แต่จากทฤษฎีบทปีทาโกรัส
เราจะได้ว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก ของสามเหลื่ยมรูปที่สองก็จะมีค่าเท่ากับ
c เนื่องจากสามเหลี่ยมทั้งสองรูปมีความยาวด้านเท่ากันทุกด้าน
สามเหลี่ยมทั้งสองรูปจึงเท่ากันทุกประการแบบ
"ด้าน-ด้าน-ด้าน" และต้องมีมุมขนาดเท่ากันทุกมุม ดังนั้นมุมที่ด้าน a และ
b มาประกอบกัน
จึงต้องเป็นมุมฉากด้วย
จากบทพิสูจน์ของบทกลับของทฤษฎีบทปีทาโกรัส
เราสามารถนำไปหาว่ารูปสามเหลี่ยมใด ๆ เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม, มุมฉาก หรือ มุมป้าน ได้
เมื่อกำหนดให้ c เป็นความยาวของด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยม
ถ้า a2 + b2 = c2 สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
ถ้า a2 + b2 > c2 สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม
ถ้า a2 + b2 < c2 สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมมุมป้าน
ที่มา http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%97%E0%B8%A4%E0%B8%A9%E0%B8%8E%E0%B8%B5%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B8%97%E0%B8%B2%E0%B9%82%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%B1%E0%B8%AA 12 กันยายยน 2556
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
ที่มา http://www.youtube.com/watch?v=PQlpam4CAkk 12 กันยายน 2556
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น