เกร็ดความรู้ คณิตศาตร์: ปริมาตร

ถ้วยตวงสามารถใช้วัดปริมาตรของของเหลวได้ ถ้วยตวงถ้วยนี้มีหน่วยกำกับเป็นถ้วย ออนซ์และมิลลิลิตร

ปริมาตร หมายถึงความมากน้อยในปริภูมิ สามมิติซึ่งวัสดุชนิดหนึ่งในสถานะใด ๆ (ของแข็ง ของเหลว แก๊ส หรือพลาสมา) หรือรูปทรงชนิดหนึ่งยึดถืออยู่หรือบรรจุอยู่^[1] บ่อยครั้งที่ปริมาตรระบุปริมาณเป็นตัวเลขโดยใช้หน่วยกำกับ เช่นลูกบาศก์เมตรซึ่งเป็นหน่วยอนุพันธ์เอสไอ นอกจากนี้ยังเป็นที่เข้าใจกันโดยทั่วไปว่า ปริมาตรของภาชนะคือ ความจุ ของภาชนะ เช่นปริมาณของของไหล (ของเหลวหรือแก๊ส) ที่ภาชนะนั้นสามารถบรรจุได้ มากกว่าจะหมายถึงปริมาณเนื้อวัสดุของภาชนะ

รูปทรงสามมิติทางคณิตศาสตร์มักถูกกำหนดปริมาตรขึ้นด้วยพร้อมกัน ปริมาตรของรูปทรงอย่างง่ายบางชนิด เช่นมีด้านยาวเท่ากัน สันขอบตรง และรูปร่างกลมเป็นต้น สามารถคำนวณได้ง่ายโดยใช้สูตรต่าง ๆ ทางเรขาคณิต ส่วนปริมาตรของรูปทรงที่ซับซ้อนยิ่งขึ้นสามารถคำนวณได้ด้วยแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ถ้าทราบสูตรสำหรับขอบเขตของรูปทรงนั้น รูปร่างหนึ่งมิติ (เช่นเส้นตรง) และรูปร่างสองมิติ (เช่นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส) ถูกกำหนดให้มีปริมาตรเป็นศูนย์ในปริภูมิสามมิติ

ปริมาตรของของแข็ง (ไม่ว่าจะมีรูปทรงปกติหรือไม่ปกติ) สามารถตรวจวัดได้ด้วยการแทนที่ของไหล และการแทนที่ของเหลวสามารถใช้ตรวจวัดปริมาตรของแก๊สได้อีกด้วย ปริมาตรรวมของวัสดุสองชนิดโดยปกติจะมากกว่าปริมาตรของวัสดุอย่างใดอย่างหนึ่ง เว้นแต่เมื่อวัสดุหนึ่งละลายในอีกวัสดุหนึ่งแล้ว ปริมาตรรวมจะไม่เป็นไปตามหลักการบวก ^[2]

ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ปริมาตรถูกอธิบายด้วยความหมายของรูปแบบปริมาตร (volume form) และเป็นตัวยืนยง แบบไรมันน์ (Riemann invariant) ที่สำคัญโดยรวม ในอุณหพลศาสตร์ ปริมาตรคือตัวแปรเสริม (parameter) ชนิดพื้นฐาน และเป็นตัวแปรควบคู่ (conjugate variable) กับความดัน

หน่วยวัดปริมาตรตามตำรา
The New Student's Reference Work
การแปลงหน่วยเป็นมิลลิลิตรโดยประมาณ^[3]

	อังกฤษ	สหรัฐฯ ของเหลว	สหรัฐฯ ของแห้ง
กิลล์	142 มล.	118 มล.	138 มล.
ไพนต์	568 มล.	473 มล.	551 มล.
ควอร์ต	1137 มล.	946 มล.	1101 มล.
แกลลอน	4546 มล.	3785 มล.	4405 มล.

ระบบหน่วยวัดระหว่างประเทศกำหนดให้หน่วยวัดปริมาตรมาตรฐานคือหน่วยลูกบาศก์เมตร (ลบ.ม., ม.³, m³) ระบบเมตริกก็มีหน่วยลิตร (ล., L) เป็นหน่วยวัดปริมาตรอีกด้วย ซึ่งเท่ากับปริมาตรของทรงลูกบาศก์ขนาดสิบเซนติเมตร จึงสัมพันธ์กับหน่วยลูกบาศก์เมตรเช่นกัน นั่นคือหน่วยวัดปริมาตรใช้แนวคิดที่เกี่ยวข้องกับหน่วยวัดความยาว โดยเติมคำว่า ลูกบาศก์ นำหน้าหน่วยความยาวที่ใช้วัดขนาดในสามมิติทั้งความกว้าง ความยาว ความสูง ในหน่วยเดียวกัน เมื่อเขียนเป็นอักษรย่อจะเติม ลบ. นำหน้าหรือกำกับด้วย ยกกำลังสาม อย่างใดอย่างหนึ่ง ตัวอย่างเช่น วัตถุทรงลูกบาศก์ชิ้นหนึ่งมีทุกด้านยาวหนึ่งเซนติเมตร (ซม., cm) จะมีปริมาตรเท่ากับหนึ่งลูกบาศก์เซนติเมตร (ลบ.ซม., ซม.³, cm³)

1 ลิตร = (10 เซนติเมตร)³ = 1000 ลูกบาศก์เซนติเมตร = 0.001 ลูกบาศก์เมตร

ดังนั้น

1 ลูกบาศก์เมตร = 1000 ลิตร

บ่อยครั้งที่ปริมาณของเหลวจำนวนเล็กน้อยถูกวัดในหน่วยมิลลิลิตร นั่นคือ

1 มิลลิลิตร = 0.001 ลิตร = 1 ลูกบาศก์เซนติเมตร

หน่วยวัดปริมาตรแบบดั้งเดิมอื่น ๆ ที่มีหลากหลายก็เป็นที่นิยมเช่นกัน เช่น ลูกบาศก์นิ้ว ลูกบาศก์ฟุต ลูกบาศก์ไมล์ ช้อนชา ช้อนโต๊ะ ถ้วย ออนซ์ แดรม กิลล์ ไพนต์ ควอร์ต แกลลอน มินิม บาร์เรล คอร์ด เพก บุเชิล ฮอกสเฮด ฯลฯ ส่วนหน่วยวัดไทยดั้งเดิมก็มีอย่างเช่น ถัง (20 ลิตร) บั้น เกวียน เป็นต้น

คำที่เกี่ยวข้อง[แก้]

ความหนาแน่นของวัตถุนิยามจากมวลต่อปริมาตรหนึ่งหน่วย ส่วนกลับของความหนาแน่นคือปริมาตรจำเพาะซึ่งนิยามจากปริมาตรหารด้วยมวล

ปริมาตรกับความจุบางครั้งมีความหมายแตกต่างกัน ความจุใช้อธิบายความมากน้อยที่ภาชนะสามารถบรรจุวัตถุอื่นได้ ส่วนปริมาตรใช้อธิบายความมากน้อยในปริภูมิสามมิติที่วัตถุนั้นยึดถืออยู่

ปริมาตรกับความจุก็ยังมีความหมายแตกต่างกันในเรื่องการจัดการความจุ ซึ่งความจุนิยามจากปริมาตรที่มีอยู่ในช่วงเวลาที่ระบุ

สูตรปริมาตร

รูปทรง	สูตรปริมาตร	ตัวแปร
ทรงลูกบาศก์	$V = a^3\;$	a = ความยาวของด้าน (หรือขอบ) ด้านใดด้านหนึ่ง
ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก (ปริซึมสี่เหลี่ยมมุมฉาก)	$V = l \cdot w \cdot h$	l = ความยาว, w = ความกว้าง, h = ความสูง
ปริซึม	$V = B \cdot h$	B = พื้นที่ของหน้าตัด (ฐาน), h = ความสูง
ทรงกระบอก	$V = \pi r^2 h\;$	r = รัศมีของหน้าตัดรูปวงกลม, h = ความสูง
ทรงกลม	$V = \frac{4}{3} \pi r^3$	r = รัศมีของทรงกลม
ทรงรี	$V = \frac{4}{3} \pi abc$	a, b, c = กึ่งแกนของทรงรี
พีระมิด	$V = \frac{1}{3} Bh$	B = พื้นที่ของหน้าตัด (ฐาน), h = ความสูงจากฐานสู่ยอด
ทรงกรวย	$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$	r = รัศมีของหน้าตัดรูปวงกลม, h = ความสูงจากฐานสู่ยอด
ทรงสี่หน้าปรกติ^[4]	$V = {\sqrt{2}\over12}a^3$	a = ความยาวของด้าน (หรือขอบ) ด้านใดด้านหนึ่ง
ทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน	$V = a b c \sqrt{K}$ $\begin{align} K = & 1+2\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma) \\ & - \cos^2(\alpha)-\cos^2(\beta)-\cos^2(\gamma) \end{align}$	a, b, c = ความยาวของขอบจากจุดยอดจุดหนึ่ง α, β, γ = มุมภายในระหว่างขอบจากจุดยอดจุดหนึ่ง
รูปทรงใด ๆ (ต้องใช้แคลคูลัส)	$V = \int_a^b A(h) \,dh$	h = มิติใด ๆ ของรูปทรง A(h) = พื้นที่หน้าตัดที่ตั้งฉากกับ h อธิบายด้วยฟังก์ชันของตำแหน่งบน h a, b = ขอบเขตของปริพันธ์สำหรับการกวาดเชิงปริมาตร (ใช้ได้เฉพาะกรณีรูปทรงที่พื้นที่หน้าตัดสามารถพิจารณาได้จาก h)
รูปทรงที่หมุนใด ๆ (ต้องใช้แคลคูลัส)	$V = \pi \int_a^b \left({\left[R_O(x)\right]}^2 - {\left[R_I(x)\right]}^2\right) \mathrm{d}x$	$R_O, R_I$ = ฟังก์ชันที่แสดงถึงรัศมีภายนอกและภายในของฟังก์ชันตามลำดับ a, b = ขอบเขตของปริพันธ์สำหรับการกวาดเชิงปริมาตร